数列与数项级数是专升本高数的重要考点，每年必考10-15分。题型相对固定——掌握几种常见级数的审敛方法和基本公式，就能在考场上稳定拿分。

一、数列极限（选择题常考，送分题）

数列极限是级数的基础。理解清楚“极限”的概念，后续的级数审敛才能学透。

1.1 数列极限的定义

若当 n 无限增大时，数列 a_n 无限趋近于某个常数 A，则称数列收敛于 A。记作：

lim(n→∞) a_n = A

不收敛的数列称为发散数列。

1.2 常见数列极限结论（背诵）

以下是几个必须熟记的数列极限结论：

（1）lim(n→∞) q^n：

• 当 |q| 小于 1 时，极限为 0
• 当 q 等于 1 时，极限为 1
• 当 q 大于 1 时，数列发散

（2）lim(n→∞) 1/n = 0（最基础）

（3）lim(n→∞) 1/n^k = 0，其中 k 大于 0（幂函数极限）

（4）lim(n→∞) (1 + 1/n)^n = e（重要极限）

解题技巧：遇到含 n 的式子，取最高次项后化简求极限。

例题1：求数列极限 lim(n→∞) (3n² + 2n) / (n² + 1)

解析：分子分母同时除以 n²，得：

lim(n→∞) (3 + 2/n) / (1 + 1/n²) = 3 / 1 = 3

二、数项级数的基本概念

2.1 什么是级数？

将数列 a_n 的各项依次相加，称为（无穷）级数：

∑(n=1 到 ∞) a_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n + …

2.2 级数收敛与发散

级数的部分和 S_n = a₁ + a₂ + … + a_n。

若 lim(n→∞) S_n = S（存在），则级数收敛，S为级数和。

若 lim(n→∞) S_n 不存在或为无穷，则级数发散。

2.3 级数收敛的必要条件（每年必考！）

若级数 ∑a_n 收敛，则 lim(n→∞) a_n = 0。

注意：这是一个必要条件，不是充分条件！

a_n 趋近于0不一定收敛（调和级数就是反例）。

a_n 不趋近于0，则级数一定发散（用于快速判断发散）。

三、必考的四种级数（记结论，直接拿分）

3.1 等比级数（几何级数）——最简单，每年必考

形如：∑(n=0 到 ∞) a·r^n = a + ar + ar² + ar³ + …

审敛方法：直接看公比 r 的大小。

当 |r| 小于 1 时，级数收敛，和为 S = a 除以 (1-r)。

当 |r| 大于或等于 1 时，级数发散。

判断技巧：等比级数只考看公比，计算题中若出现，直接写结论，不需要额外用比值判别法。

3.2 P级数——答案唯一，记住3个关键值

形如：∑(n=1 到 ∞) 1/n^p

审敛方法：

• 当 p 大于 1 时，级数收敛
• 当 p 小于或等于 1 时，级数发散

重点：p=1时就是调和级数，发散。

3.3 交错级数——适用莱布尼茨判别法

级数各项正负交替出现，形如：

∑ (-1)^(n-1) · a_n = a₁ − a₂ + a₃ − a₄ + …

莱布尼茨判别法需要同时满足两个条件：

条件一：a_n 单调递减（当n增大时，a_n越来越小）

条件二：lim(n→∞) a_n = 0

3.4 任意项级数（绝对收敛 vs 条件收敛）

绝对收敛：∑|a_n| 收敛，则 ∑a_n 必收敛。

条件收敛：∑a_n 收敛，但 ∑|a_n| 发散。

判断策略：先用正项级数审敛法判断绝对值级数是否收敛。若绝对值收敛，直接得绝对收敛结论；若绝对值发散，再用莱布尼茨等判断原级数是否收敛。

四、真题题型与解答模板

题型一：利用必要条件判断发散

例题1：判断级数 ∑ n/(n+1) 是否收敛。

解析：

lim(n→∞) n/(n+1) = 1 ≠ 0

通项不趋近于0，所以级数发散。

总结：看到分式，先算 n→∞ 时的值。只要不为0，直接写发散。

题型二：判断级数收敛性（含幂次或指数）

例题2：判断级数 ∑ n²/2^n 的收敛性。

解析：看到指数函数在分母，可用比值审敛法：

ρ = lim(n→∞) a_{n+1} / a_n

= lim(n→∞) [(n+1)² / 2^(n+1)] · [2^n / n²]

= lim(n→∞) (n+1)² / (2n²)

= 1/2

因为 1/2 小于 1，所以级数收敛。

题型三：判断级数敛散性（首选审敛法）

例题3：判断级数 ∑ 1/(n² + 1) 的收敛性。

解析：与 P级数 1/n² 比较。

因为 1/(n²+1) 小于 1/n²，且 ∑1/n² 收敛（p=2大于1），所以原级数收敛。

五、交错级数题型

判断交错级数收敛性（莱布尼茨判别法）

例题4：判断交错级数 ∑ (-1)^n · 1/n 的收敛性。

解析：

第一步：看绝对值 a_n = 1/n → lim(n→∞) 1/n = 0

第二步：1/n 单调递减

两个条件都满足，所以根据莱布尼茨判别法，原级数收敛。

六、常见级数审敛法对比表（考前速记）

这四种级数类型必须分清：

等比级数 ∑ar^n：直接看公比，|r|小于1收敛，|r|大于或等于1发散

P级数 ∑1/n^p：直接看p，p大于1收敛，p小于或等于1发散

正项级数一般式：用比值或比较审敛法，计算极限后与1比较

交错级数：用莱布尼茨判别法，需同时满足递减和趋近于0

七、考前冲刺建议

（1）优先记住四种级数结论：等比、P级数、调和、交错级数的审敛方法，占考试70%以上。

（2）极限 lim(n→∞)a_n ≠ 0，直接写发散——这是最简单的“一眼判断法”。

（3）判断正项级数时，优先尝试比值审敛法；若计算复杂，考虑与P级数比较。

（4）考场上遇到不会的大题，先写出相关公式——阅卷给步骤分，写一步就是一步的分。

> 专升本高数中，级数的考查集中在“等比级数、P级数、交错级数”三大类。只要把审敛方法的适用条件与结论流程记熟，考场上直接套用模板就能快速拿分。建议考前集中练习5-8道级数真题，彻底吃透每种题型的解法。